Mariana God ́ınez Cu ́ellar Estudiante de Ingenier ́ıa Industrial del ITAM
“A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. If his patterns are more permanent than theirs, it is because they are made with ideas. The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s must be beautiful; the ideas, like the colors or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is Me first tow
lea is no permanent place in the world for ugly mathematics.” G.H. Hardy
Durante muchos siglos se ha considerado que las matem ́aticas y la mu ́sica tienen cierta simili- tud y comu ́nmente se dice que tienen al menos cierta relaci ́on: la mu ́sica necesita del orden y la matem ́atica analiza ese orden; proporciones, simetr ́ıas, transformaciones, progresiones, m ́odu- los, logaritmos, series... ¡Toda la construcci ́on arm ́onica y parte de la mel ́odica es matem ́atica pura! Tambi ́en hay similitudes desde luego innegables, como lo m ́agico y lo abstracto de ambas; abstracci ́on que las hace parecer pertenecer a otro mundo y, sin embargo, tienen tanto poder sobre este mundo: las matem ́aticas tienen mu ́ltiples aplicaciones y muchos no podr ́ıamos vivir sin la mu ́sica.
Similarmente se puede encontrar en las mismas ciertas diferencias; diferencias que a su vez van de la mano y a final de cuentas terminan entretejiendo a la matem ́atica y a la mu ́sica. La mu ́sica cambia su textura y car ́acter segu ́n el lugar y la ́epoca. Puede ser cristalina o densa, sentimental o explosiva. Por su parte, las matem ́aticas son directas, nunca alteran su car ́acter. La mu ́sica se crea a partir de algo f ́ısico, instrumentos de todo tipo de materiales la producen. Las matem ́aticas son, sobre todo, abstracciones que, muchas veces, no necesitan ni siquiera papel y l ́apiz. La mu ́sica est ́a cargada de emociones, es alegre o triste, suave o agresiva, puede ser espiritual, est ́etica, religiosa, no obstante, no podemos hablar de un teorema “triste” o de una demostraci ́on “agresiva”.
Tanto el matem ́atico como el mu ́sico se encuentran ocupados resolviendo problemas o com- poniendo o interpretando, sin detenerse a pensar que ambos est ́an entregados a disciplinas que son paradigmas de lo abstracto.
La evoluci ́on de las matem ́aticas y la mu ́sica a lo largo de la historia han marcado el tipo de relaci ́on existente entre ambas, sin embargo, no es posible hablar de la existencia de nexos entre las mismas si no hasta que aparecen los primeros signos de teorizaci ́on tanto en la mu ́sica como en la matem ́atica.
Es en la Grecia antigua donde los principios unificadores, que constituyen el nu ́cleo tanto de las matem ́aticas como de la mu ́sica, alcanzan un grado suficiente de madurez como para
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que se establezcan las primeras relaciones. Ambos t ́erminos proceden respectivamente de los vocablos griegos musik ́e, “de las musas”, y mathema, que significa “aquello que se aprende”.
La concepci ́on cl ́asica de la mu ́sica como un subconjunto de las matem ́aticas permaneci ́o du- rante la Edad Media, y no fue sino hasta el siglo XII cuando se cre ́o una nueva divisi ́on de las ciencias, llamada escol ́astica divina, que no la inclu ́ıa espec ́ıficamente. Paralelamente, compositores y ejecutantes empezaron a separarse de la tradici ́on pitag ́orica creando nuevos estilos y tipos de mu ́sica. Por otra parte, la ejecuci ́on de obras m ́as complejas llev ́o a experi- mentar con m ́etodos de afinaci ́on alternativos que dieron lugar a una variaci ́on de la afinaci ́on pitag ́orica llamada afinaci ́on justa. En el nuevo m ́etodo se segu ́ıan utilizando las matem ́aticas como herramienta para calcular los intervalos, pero olvidando los principios pitag ́oricos, con lo que se abandonaba el modelo de belleza cl ́asico y la mu ́sica se disociaba de los nu ́meros. Este cambio de actitud caus ́o desacuerdo entre los matem ́aticos, quienes quer ́ıan una adherencia estricta a sus f ́ormulas, y los mu ́sicos, que buscaban reglas f ́aciles de aplicar.
El uso de las matem ́aticas para la formalizaci ́on y el c ́alculo de ciertos aspectos de las com- posiciones fomenta la aparici ́on y permanencia de dos tipos de situaciones entre matem ́aticas y mu ́sica, ya consideradas como disciplinas. Por un lado, continuando en cierta forma con la tradici ́on pitag ́orica, el mu ́sico establece en ocasiones un esquema matem ́atico para la creaci ́on de sus composiciones sobrepasando el uso habitual dado a las matem ́aticas; por otro, el mu ́sico crea la obra de forma intuitiva, utilizando c ́anones est ́eticos, carentes aparentemente de com- ponente formal, y es el matem ́atico el que busca a posteriori un nexo entre la obra y las matem ́aticas. Un elemento matem ́atico que ilustra muy bien los dos tipos de situaci ́on es la famosa sucesi ́on de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... y en general, un t ́ermino es la suma de los dos anteriores.
Relacionado con la sucesi ́on de Fibonacci encontramos la secci ́on o raz ́on ́aurea. El cociente de dos t ́erminos sucesivos de esta sucesi ́on tiende al nu ́mero ́aureo: 1.618034 (tambi ́en conocido como nu ́mero de oro). La secci ́on ́aurea es la divisi ́on arm ́onica de una recta en media y extrema raz ́on; es decir, que el segmento menor es al segmento mayor como ́este es a la totalidad de la recta.
secci ́on ́aurea
Siguiendo la l ́ogica de la figura, si AB = 1 y AC = x entonces x2 +x−1 = 0, luego x = 0.618034. As ́ı, la parte mayor de cualquier longitud, dividida en raz ́on ́aurea, es igual a la longitud total multiplicada por 0.618034. Esta proporci ́on se puede encontrar ampliamente tanto en el arte como en estructuras naturales.
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Un ejemplo muy ilustrativo del uso de la sucesi ́on de Fibonacci y la raz ́on ́aurea es el del compositor hu ́ngaro Bela Bartok, una de las figuras m ́as originales y completas de la mu ́sica del siglo XX.
El mu ́sico, alrededor de 1915, desarroll ́o un m ́etodo para integrar todos los elementos de la mu ́sica (escalas, estructuras de acordes con los motivos mel ́odicos apropiados, proporciones de longitud, tanto de la obra en general como los de la exposici ́on, desarrollo, reexposici ́on, frases de conexi ́on entre movimientos, etc.) basado en la raz ́on ́aurea y su c ́ırculo de tonalidades, por un lado, y en la sucesi ́on de Fibonacci, por otro.
El c ́ırculo tonal de Bartok es el siguiente: consid ́erese el c ́ırculo de tonalidades vecinas o c ́ırculo de quintas (sucesi ́on ascendente o descendente de notas musicales separadas por intervalos de quinta) dado de la siguiente forma: num ́erense las notas do, do#, re, re#, mi,..., si del 0 al 11, respectivamente; luego, ord ́enense los nu ́meros anteriores en una circunferencia saltando 7 lugares (como se muestra en la figura). T ́omese do como la t ́onica T (altura musical m ́as importante de una tonalidad) y as ́ıgnense las letras D, S y T sucesivamente a cada nota del c ́ırculo (siguiendo las manecillas del reloj): D designar ́a a la dominante y S a la subdominante.
As ́ı, cada nota t ́onica estar ́a rodeada de su subdominante y su dominante; por ejemplo, re# ser ́a t ́onica con subdominante sol# y dominante la# y as ́ı sucesivamente. Si unimos, mediante ejes, los puntos T, D y S, obtendremos los llamados ejes de las t ́onicas, de las dominantes y de las subdominantes. En particular, existe una relaci ́on m ́as adecuada entre los polos opuestos. Esta relaci ́on es el principio fundamental de la mu ́sica de Bartok. Muchos ejemplos de su mu ́sica siguen este principio.
C ́ırculo de Tonalidades de Bartok
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En cuanto a la Forma y la Armon ́ıa, Bartok utiliza el principio de la raz ́on ́aurea. Por ejemplo, en el primer movimiento de Sonata para dos pianos y percusi ́on, que consta de 443 compases, si se multiplica este nu ́mero por 0.618034 se obtiene el comp ́as 274, el cual ser ́a el punto donde justamente se inicia la reexposici ́on del tema principal de la sonata (la forma sonata est ́a basada en dos temas musicales diferentes que se exponen, se desarrollan y se reexponen).
Representaci ́on gr ́afica del uso de la raz ́on ́aurea en Sonata para dos pianos y percusi ́on
Allegro B ́arbaro es otra composici ́on para piano solamente en la cual Bartok utiliza los nu ́meros de Fibonacci 2, 3, 5, 8 y 13 en diversas ocasiones durante la pieza, a diferencia de la mu ́sica tradicional, la cual utiliza 8 compases en casi todos los temas y mu ́ltiplos de 2 en los motivos y frases (los motivos forman frases, las frases temas, y esta secuencia de motivos, frases y temas constituye la base fundamental de la mu ́sica cl ́asica). Tambi ́en utiliza su c ́ırculo de tonalidades en la pieza y todo esto se logra a pesar de la duraci ́on de la misma, que es de tan solo 3 minutos.
Su uso de los acordes tambi ́en est ́a basado en los nu ́meros de Fibonacci. Por ejemplo, en semitonos 2 es una segunda mayor, 3 es una tercera menor, 5 es una cuarta, 8 es una sexta menor y 13 es una octava aumentada (ver figura).
Acordes basados en la sucesi ́on de Fibonacci
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Lo anterior en particular para el compositor hu ́ngaro Bela Bartok; no obstante, tambi ́en se conocen los casos de otros mu ́sicos que han utilizado la sucesi ́on de Fibonacci y la raz ́on ́aurea como patr ́on para determinar ciertos elementos de sus composiciones, tales como Wolfgang Amadeus Mozart, Johann Sebastian Bach, Ludwig van Beethoven y hasta una banda de rock progresivo contempor ́anea llamada Tool. As ́ı, podemos observar como no s ́olo se quedan en lo abstracto estos elementos matem ́aticos; estos se presentan tanto en la naturaleza como en las artes, particularmente en la mu ́sica.
Por la mezcla entre lo terrenal y lo celestial, lo esot ́erico y lo pr ́actico, lo universal y lo particular, ambas disciplinas, la matem ́atica y la mu ́sica, han tenido un poder m ́ıstico desde la Antigu ̈edad. Todav ́ıa hoy el aspecto m ́agico y ritualista se mantiene: hay que tener cierto conocimiento para introducirse en la lectura de una partitura as ́ı como para poder seguir la demostraci ́on de un teorema. Pero en ambas hay algo maravilloso: la notaci ́on que es capaz de indicarnos tiempos, ritmos y altura de sonidos en el caso de la mu ́sica, o una numeraci ́on tan sofisticada como la ar ́abiga y notaciones tan desarrolladas que dan estructura y sentido a los conceptos m ́as abstractos en el caso de las matem ́aticas.
Referencias:
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/profes/departam/mates/musica /index.htm
http://www.sectormatematica.cl/musica/matematica %20en %20la %20musica.pdf http://www.uv.es/metode/anuario2004/65
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